挠度计算公式的基本推导

2019-09-15 06:16:12

随着科学技术的进步以及建筑设计的发展,力学建筑不仅坚固,而且给人一种踏实舒服的感觉,那么一些工程建设就需要精确的科学计算之后,然后才开始进行工程的开发,下面小编就为大家简单的叙述一下挠度计算公式,以帮助一些建筑的设计完成。

第一步:

    当荷载的力作用在跨中时挠度的计算方式是:fmax=(P·L3)/(48×E·I)

    当荷载作用在任意一点时挠度的计算方式:fmax={P·L1·L2(L+L2)·[3×L1·(L+L2)]1/2}/(27×E·I·L)。

    也就是说这两种情况我们如果进行分析的话,我们会发现集中荷载作用在任意一点时,也就是说任意一点可以是中点,那么上面的‚式就会包含式,而式知识挠度公式中的一个特例,当然也就是L1=L2=L/2这种情况。那么我们就可以这样思考了,将L1=L2=L/2代入‚式中,max={P·L1·L2(L+L2)·[3×L1·(L+L2)]1/2}/(27×E·I·L)。

    ={P·L/2·L/2(L+L/2)·[3×L/2·(L+L/2)]1/2}/(27×E·I·L)

    ={P·L2/4·(3L/2)·[9×L2/4]1/2}/(27×E·I·L)

    ={P·(3L2/8)·[3×L/2]}/(27×E·I)

    =P·(9L3/16)/(27×E·I)

    =(P·L3)/(48×E·I)

    这样也就验算了以上的思想了。

    第二步:

    简单的推导过程:

    我们以简支梁来为例:全粱应将其分为两段

    对于梁的左段来说,则当0≤X1≤L1时,其弯矩方程可以表示为:

    Mx1=(P·L2/L)·X;设f1为梁左段的挠度,则由材料力学。

    E·I·f1//=(P·L2/L)·X

    积分得E·I·f1/=(P·L2/L)·X2/2+C1

    二次积分:E·I·f1=(P·L2/L)·X3/6+C1X+D1‚

    因为X1等于零时:

    简支梁的挠度f1等于零(边界条件)

    将X1=0代入(2)得D1=0

    而对于梁的右段,即当L1≤X2≤L时,其弯矩方程可以表现为:

    MX2=(P·L2/L)·X-P·(X-L1);

    设f2为梁右段的挠度,则由材料力学

    E·I·f2//=(P·L2/L)·X-P·(X-L1)

    积分得E·I·f2/=(P·L2/L)·X2/2-[P(X-L1)2/2]+C2ƒ

    二次积分:E·I·f2=[(P·L2/L)·X3/6]-[P·(X-L1)3/6]+C2X+D2④

    将左右段连接,则可以

    ①在X=0处,f1=0;

    ②在X=L1处,f1/=f2/(f1/、f2/为挠曲线的倾角);

    ③在X=L1处,f1=f2;

    ④在X=L处,f2=0;

    由以上四条件求得(过程略):C1=C2=-[(P·L2)/6L]·(L2-L22);D1=D2=0。

    代入公式、‚、ƒ、④整理即得:

    对于左段0≤X≤L1

    E·I·f1/=(P·L2/L)·X2/2+C1(1)

    =P·L2/6L·[3X2-(L2-L22)](5)

    E·I·f1=(P·L2/L)·X3/6+C1X+D1(2)

    =(P·L2/6×L)·[X3-X(L2-L22)](6)

    对于右段L1≤X≤L

    E·I·f2/=(P·L2/L)·X2/2-[P·(X-L2)2/2]+C2(3)

    =(P·L2/6×L)·[3X2-(L2-L22)]-[P/2·(X-L1)2](7)

    E·I·f2=[(P·L2/L)·X3/6]-[P·(X-L1)3/6]+C2X+D2(4)

    =(P·L2/6L)·[X3-X(L2-L22)]-[P/6·(X-L1)3](8)

    等一一对应的过程式。

    第三步:按以上基础继续进行:

    若L1>L2,则最大挠度就显然在左段内,命左段的倾角方程(5)f/等于零,即得最大挠度所在之位置,于是令:

    P·L2/6L·[3X2-(L2-L22)]=0

    则:3X2-(L2-L22)=0

    得:X=[(L2-L22)/3]1/2(9)

    将(9)式代入(6)式即得最大挠度

    fmax=-[P·L2·(L2-L22)3/2]/[9×31/2×L·E·I](10)

    展开即得:

    fmax=-{(P·L1·L2·(L+L2)·[3×L1·(L+L2)]1/2)}/(27×E·I·L)。

    这就是公式的推导过程,对于非专业人士可能不会十分清楚,小编这样希望给专业人士一个帮助性的指引,希望有关人士可以在建筑上能够得以应用。以上就是有关挠度计算公式的内容,希望能对大家有所帮助!